“OΣΤΟΜΑΧΙΟΝ”: ΤΟ ΑΡΧΑΙΟΤΕΡΟ ΓΝΩΣΤΟ PUZZLE...?

     Το 2003, ένας επιχειρηματίας, που ήταν σε επαφή με την ομάδα, που εκείνη την εποχή αποκρυπτογραφούσε το παλίμψηστο τού Αρχιμήδη,  πρότεινε στην εταιρεία κατασκευής επιτραπέζιων παιχνιδιών puzzle, “Kadon”, να συμπεριλάβει στα προϊόντα της το “Κουτί τού Αρχιμήδη” (όπως αλλιώς αποκαλείται το “Οστομάχιον”). Όντως, μέσα στο ίδιο έτος, το puzzle εμφανίστηκε στην αγορά. 

-

Διάφορα σχέδια, που καλείται ο παίκτης να συμπληρώσει. Από αριστερά προς τα δεξιά κι από επάνω προς κάτω: Ελέφαντας, αγριογούρουνο, χήνα που πετάει, αρματωμένος πολεμιστής, κυνηγός που παραμονεύει, σκύλος που γαβγίζει, περικεφαλαία, καράβι, ξίφος.

“Οστομάχιον” ή “Στομάχιον”, σύμφωνα με τα αραβικά χειρόγραφα, ονομάζεται πραγματεία τού Αρχιμήδη, τής οποίας σώζονται μερικά αποσπάσματα. Αναφέρεται ως παιχνίδι διαδεδομένο στην αρχαιότητα, στο οποίο ζητούνταν να τοποθετηθούν 14 πλακουντοειδή ελεφάντινα οστάρια πολυγωνικής και τριγωνικής μορφής, έτσι ώστε να δημιουργούνται διάφορες μορφές. Μοιάζει με το σημερινό Τangram και θεωρείται το αρχαιότερο puzzle.

     Τότε τέθηκε και το ερώτημα πόσοι είναι οι διαφορετικοί συνδυασμοί, που ...σχηματίζουν τετράγωνο. Λίγο αργότερα βρέθηκε με τη βοήθεια ειδικού προγράμματος, ότι υπάρχουν 536 γεωμετρικοί συνδυασμοί και με τις συμμετρίες (περιστροφές, κατοπτρισμοί, πανομοιότυπα τρίγωνα) ο συνολικός αριθμός τους ανεβαίνει στούς 17.152.

     Ο επιχειρηματίας πρότεινε η 5^η Ιουνίου να ονομαστεί «Ημέρα τού Αρχιμήδη». Καλύτερα από το να γιορτάζεται κάποιος άγ(ρ)ιος... (Στο ΘΕΜΑΤΟΛΟΓΙΟ τής «Ελεύθερης Έρευνας» και στην Ενότητα ΘΡΗΣΚΕΙΕΣ μπορείτε να βρείτε άρθρα για πολλούς αγ(ρ)ίους τής Ορθοδοξίας. Επίσης από την Ενότητα ΚΑΤΕΒΑΣΤΕ ΒΙΒΛΙΑ ΔΩΡΕΑΝ μπορείτε να κατεβάσετε το βιβλίο Τα υβριστικά κατά των Ελλήνων επίσημα κείμενα τής Ορθοδοξίας).

Το θέμα έλαβε δημοσιότητα και διάφοροι δημοσί- ευσαν τις απόψεις τους. Κατ΄ αρχήν τα πανομοιότυπα τρίγωνα είναι δύο και συγκεκριμένα τα τρίγωνα με γκρι και κίτρινο χρώμα στο παραπλεύρως σχήμα. Επίσης τα τρίγωνα με τις κόκκινες, πράσινες και μπλε βούλες πάντα πάνε ζευγάρι. Ο λόγος είναι, ότι το ένα τρίγωνο από κάθε ζεύγος περιέχει άρρητη γωνία, τέτοια, που δεν μπορεί να συμπεριληφθεί σε σημεία, όπου ενώνονται οι κορυφές των σχημάτων και όπου το άθροισμα των γωνιών είναι πάντα 360 μοίρες.

     Μπορούμε λοιπόν, να απλοποιήσουμε το “Οστομάχιον” ενοποιώντας τα τρία ζεύγη σχημάτων σε τρία νέα σχήματα χωρίς να επηρεάσουμε τον τελικό αριθμό λύσεων. Όμως, το νέο σχήμα, που προκύπτει από τα σχήματα με τις πράσινες βούλες, είναι πανομοιότυπο με το πράσινο σχήμα. Για χάρη απλοποίησης μπορούμε να δεχθούμε, ότι το νέο ζεύγος πανομοιότυπων τριγώνων αποτελεί μιά επί πλέον συμμετρία. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μειωθεί ο αριθμός των συνδυασμών στο μισό (536:2=268). Ταυτόχρονα διπλασιάζονται οι συμμετρίες, οπότε ο συνολικός αριθμός των συνδυασμών παραμένει ο ίδιος, δηλαδή 17.152. Αν βέβαια θεωρήσουμε, ότι το ζεύγος των σχημάτων με τις πράσινες βούλες δεν συμπίπτει με το πράσινο σχήμα, επανερχόμαστε στον αρχικό υπολογισμό.

    

     Σύμφωνα με τον αλγόριθμο Logelium, όλα τα σχήματα τού “Οστομαχίου” μπορούν να παραχθούν από συνδυασμό των τριών πρώτων σχημάτων και μόνο ένα σχήμα απαιτεί και τη συμβολή τού τέταρτου. Κατόπιν το πρόβλημα "ποσοτικοποιείται", χρησιμοποιώντας μαθηματικά εργαλεία, όπως η αλγεβρική γεωμετρία. Έπειτα αναλαμβάνει η υπολογιστική δύναμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, να υπολογίσει όλους τούς δυνατούς συνδυασμούς και να ομαδοποιήσει τις ζητούμενες λύσεις.

     Το 2004, με τη βοήθεια τού προγραμματιστικού αλγορίθμου Logelium (απλοποιεί προβλήματα γεωμετρικών συνδυασμών δημιουργώντας όλα τα διαθέσιμα γεωμετρικά σχήματα με συνδυασμό τεσσάρων βασικών σχημάτων), ανακοινώθηκε, ότι το Οστομάχιον μπορεί να δώσει 637 διαφορετικά κυρτά πολύγωνα, δείχνοντας την πολλαπλότητα των μορφών, που μπορεί να παράγει και την ευελιξία του. Όσο μεγαλώνει ο αριθμός των γωνιών τόσο μειώνεται και ο αριθμός των μορφών σταματώντας στο δεκάγωνο.

Το μοναδικό δεκάγωνο, που μπορεί να δώσει το “Οστομάχιον”, το οποίο μάλιστα περιλαμβάνει συμμετρία περιστροφής 180 μοίρες.

     Πιο συγκεκριμένα, το “Οστομάχιον” μπορεί να δώσει 3 διαφορετικά τρίγωνα, 58 τετράπλευρα (τετράγωνο, ρόμβος, ορθογώνια, τραπέζια κ.λπ.), 104 πεντάγωνα, 198 εξάγωνα, 181 επτάγωνα, 82 οκτάγωνα, 10 εννιάγωνα και 1 δεκάγωνο. Κάθε μια μορφή πολυγώνου από τις 637 μπορεί να κατασκευαστεί με διαφορετικούς συνδυασμούς, που ο αριθμός τους συνήθως ποικίλλει από λίγες δεκάδες έως πολλές εκατοντάδες. Ο συνολικός αριθμός συνδυασμών ανέρχεται στις δέκα χιλιάδες περίπου. Και όλα αυτά χωρίς τις συμμετρίες. Για παράδειγμα, το τετράγωνο, που είναι μια από τις 58 μορφές τετραπλεύρων, που δίνει το “Οστομάχιον”, περιλαμβάνει, όπως προαναφέραμε, 268 διαφορετικούς συνδυ- ασμούς, αριθμός, που ανεβαίνει στους 17.152 μαζί με τις συμμετρίες.

     Οι συμμετρίες αναλυτικότερα: Το τετράγωνο ως σχήμα περιλαμβάνει ως γνωστόν 8 συμμετρίες, 4 περιστροφικές (0, 90, 180, 270 μοιρών) και 4 κατοπτρικές (κατά μήκος τού κάθετου, τού οριζόντιου και των δυο διαγωνίων αξόνων). Ταυτόχρονα το “Οστομάχιον” λόγω των δυο ζευγών πανομοιότυπων τριγώνων (με γκρι και κίτρινο χρώμα, βλ. παραπάνω δεύτερο σχήμα) διαθέτει άλλες δυο συμμετρίες. Ως εκ τούτου το “Oστομάχιον” σαν σύνολο (τετράγωνο) περιλαμβάνει (4+4)x2x2=32 συμμετρικούς συνδυασμούς. Πολλαπλασιάζοντας το 536 με τούς 32 συμμετρικούς συνδυασμούς έχουμε 17.152 συνολικούς συνδυασμούς. Εάν για απλοποίηση δεχτούμε και το τρίτο ζεύγος τριγώνων (αυτό με το πράσινο χρώμα) ως πανομοιότυπο, τότε έχουμε (4+4)x2x2x2=64 και 268x64=17.152.

Οι 8 συμμετρίες τού τετραγώνου.

  

     Τα εμβαδά των σχημάτων, από τα οποία αποτελείται το “Οστομάχιον” μπορούν εύκολα να υπολογιστούν με τη βοήθεια τού θεωρήματος Pick και είναι όλα ρητοί αριθμοί σε σχέση με το τετράγωνο, που σχηματίζουν όλα μαζί.

     Ο αυστριακός μαθηματικός Georg Alexander Pick, φίλος και συνεργάτης τού Αϊνστάιν, έμεινε στην ιστορία για ένα πολύ απλό θεώρημα, που διατύπωσε το 1899 και πήρε το όνομά του. Το θεώρημα Pick αναφέρει, ότι ένα πολύγωνο, τού οποίου όλες οι κορυφές αποτελούν σημεία ενός τετραγωνικού πλέγματος έχει εμβαδόν, που προκύπτει από τον τύπο: 

        E = i + b/2 – 1.

Όπου i, ο αριθμός των σημείων τού πλέγματος μέσα στο πολύγωνο (μπλε κουκκίδες) και b ο αριθμός των σημείων τού πλέγματος, που τέμνουν οι πλευρές τού πολυγώνου (κόκκινες κουκκίδες).      Για παράδειγμα, το εμβαδόν τού παραπλεύρως κοίλου πολυγώνου είναι: 31 + 15/2 – 1 = 37,5. Το αποτέλεσμα εκφράζεται σε τετραγωνικές μονάδες, δηλαδή πόσο είναι το εμβαδόν τού πολυγώνου σε σχέση με το εμβαδόν ενός τετραγωνιδίου.

     Ο τύπος τού Pick χρησιμοποιείται κυρίως για την εύρεση του εμβαδού κοίλων πολυγώνων, όπου οι συνηθισμένοι τύποι εύρεσης εμβαδών δεν λειτουργούν. Έχει επίσης τροποποιηθεί για τρεις και περισσότερες διαστάσεις.

http://www.freeinquiry.gr