Ζήνων ο Ελεάτης (494-435 π.Χ.)

Ο Καταστροφικός Μαθηματικός. Μια εκνευριστική ιδιοφυία και ένας παράξενος αγώνας δρόμου. Ή αλλιώς…..doing the dirty job!

Ζήνων ο Ελεάτης – Γεννήθηκε το 494 πΧ. στην Ελέα της Ιταλίας όπου και πέθανε το 435(;) πΧ. Γιος του Τελευταγόρα και αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη μαζί με τον οποίον θεμελίωσαν την Ελεατική φιλοσοφική σχολή. Παρουσίασε σπουδαίο φιλοσοφικό κυρίως έργο που εφάπτεται στη σύγχρονη θεώρηση των Μαθηματικών. Η κύρια πηγή πληροφοριών μας για αυτόν είναι το έργο του Πλάτωνα – Παρμενίδης.

Το πνεύμα των Μαθηματικών στους αρχαίους μπορούμε να πούμε πως οδηγείται από δύο δαφορετικές κινητήριες δυνάμεις. Απο τη μία έχουμε ένα ρεύμα που θα μπορούσαμε να χαρακτηρίσουμε ως προοδευτικό με μαθηματικούς οπώς ο Εύδοξος και ο Αρχιμήδης και από την άλλη ένα πιο –με πολύ χαλαρή χρηση της λέξης- συντηρητικό με μαθηματικούς όπως ο Ζήνων ...

και ο Ευκλείδης. Οι μεν πρώτοι πραγματεύτηκαν έννοιες που οδηγούν κατευθείαν στη σύγχρονη Μαθηματική Ανάλυση και πέτυχαν τολμηρά -και πολλές φορές πολύ αμφισβητήσιμα…- αποτελέσματα, ενώ οι δεύτεροι έμειναν προσκολλημένοι σε πιο γεωμετρικές αρχές επιτυγχάνοντας ένα πλούτο μαθηματικής γνώσης στερούμενης λαθών και αντιφάσεων αλλα αρκετά κενής απο νέα μαθηματική αλήθεια….. Σίγουρα συνεχιστής της δεύτερης αυτής «σχολής» -στο πνεύμα τουλάχιστον- μπορεί να χαρκτηριστεί ο Kronecker που με την οξύνοια του κατέκρινε τις μεθόδους του Απειροστικού Λογισμού, ενώ στον αντίποδα στέκουν επιστήμονες όπως ο Newton, ο Leibniz και βέβαια οι θεμελιωτές της συγχρονης Ανάλυσης Weierstrass, Cantor, Dedekind κλπ.

Όλη αυτή η μεγάλη εισαγωγή έγινε για να σας προετοιμάσει για τον προσωπικά αγαπημένο μου αρχαίο μαθηματικό [αν και ασχολήθηκε κυρίως με φιλοσοφικά θέματα που ανήκουν στη σφαίρα της Λογικής, αλλά τι άλλο είναι τα συγχρονα μαθηματικά (λέγε με Θεμελίωση των Μαθηματικών];;; -διαβάστε και κανένα Logicomix επιτέλους!) τον Ζήνωνα τον Ελεάτη. Πρόκειται για ένα χωριατόπαιδο που οι πηγές λένε πως ήταν πλήρως αυτοδίδακτος. Το καλό μας χωριατόπαιδο λοιπόν φτάνει στην Αθήνα σε μια ηλικία μεταξύ 30 και 45 ετών και αποστομώνει τα μεγάλα μυαλά της διανόησης με τα περίφημα 4 παραδοξά του. (Δεν πρόκειται για τον πατέρα του παράδοξου,τίτλος που παέι αναμφισβήτητα στον Επιβουλίδη ή Ευβουλίδη με το διάσημο παράδοξο του ψεύτη, αλλά σίγουρα πήγε την έννοια… καμια εκατοστή βηματα παρακάτω!!).

Το πιο γνωστό από αυτά , το οποίο υπάρχει και σε ένα βιβλίο μαθηματικών γυμνασίου πια , είναι βέβαια το παράδοξο του Αχιλλέα. Το – ομολογουμένως σουρεαλιστικό σκηνικό – είναι ότι ο Αχιλλέας κάνει αγώνα δρόμου με μια χελώνα και σαν τζεντλμαν αφήνει την αργή χελωνα να ξεκινήσει πρώτη. Όλοι μας ξέρουμε ότι στην πράξη ο Αχιλλέας όχι απλά θα φτάσει αλλά θα ξεπεράσει τη χελώνα με χαρακτηριστική άνεση Γιά να το σκεφτούμε λοιπόν με διάθεση Αρχαιοελληνική….. Αφού η χελώνα ξεκίνησε πρώτη, τη στιγμή που ξεκινάει ο Αχιλλέας αυτή θα βρίσκεται σε μια απόσταση Α βήματα μακριά του. Τη στιγμη που Αχιλλέας έχει καλύψει αυτά τα Α βήματα η χελώνα θα έχει κάνει μερικά βήματα ακόμα, έστω Β βήματα ακόμα (ομολογουμένως λίγα ακόμα, αλλά αφού κινείται δε θα βρίσκεται ακόμα στη θέση Α). Όταν ο Αχιλλέας καλύψει και αυτά τα Β βήματα η χελώνα και πάλι θα έχει διανύσει λίγη απόσταση ακόμα , έστω Γ βήματα , άρα και πάλι θα βρισκεται μπροστά από τον Αχιλλέα. Συνεχίζοντας επαγωγικά το συλλογισμό μας οδηγούμαστε στο συμπερασμα ότι ο Αχιλλέας δε θα ξεπεράσει ΠΟΤΕ τη χελώνα!!!!! Αυτό είναι ένα τυπικό δείγμα του πώς μπορούμε, μέσα απο φαινομενικά απλές διαδικάσίες, να οδηγηθούμε σε παράδοξα αποτελέσματα όταν διαχειριζόμαστε το άπειρο. Τα άλλα παράδοξα του Ζηνωνα αφορούσαν, όπως και αυτό του Αχιλλέα, τα φαινόμενα που παρατηρούνται κατά την κίνηση και ήταν το παράδοξο του βέλους, του σταδίου και του κινούμενου σώματος (παράδοξο της Διχοτόμησης). Δε θα ασχοληθούμε με αυτά καθως ο τρόπος προσέγγισης τους είναι πιο φιλοσοφικός, αλλά είναι όλα ενδείξεις του πνεύματος του Ζηνωνα. Ο Φιλόσοφος-Μαθηματικός πιθανότατα διαισθητικά αντιλήφθηκε τη διαφορετικότητα των φαινομένων που παρατηρούνται όταν ένα σώμα κινείται. Πολύ χοντρικά θα λέγαμε ότι και εδώ έχουμε να κάνουεμ με την αντίθεση διακριτού (σώμα σε στάση) και συνεχούς(σώμα σε κίνηση).

Ο Ζήνων ήταν ένας μη-παραγωγικός μαθηματικός. Ακριβολογώντας μπορούμε με ασφάλεια να πούμε πως δεν παρήγαγε κανένα νεο μαθηματικό ή φιλοσοφικό αποτέλεσμα!!! Ο Σένεκας μερικούς αιώνες αργότερα θα έλεγε αναφερόμενος στις διδασκαλίες της Ελεατικής σχολής: «Αν ακολουθήσω τον Παρμενίδη θα μείνω μόνο με το ΕΝΑ, αλλά αν ακολουθήσω τον Ζήνωνα το χάνω κι αυτό…». Ήταν όμως «σπεσιαλίστας» στο να αντικρούει συλλογισμούς αντιπάλων μαθηματικών και φιλοσόφων σε εκνευριστικό σημείο… Αυτός ο καταστροφικός, αναρχικός μαθηματικός βρέθηκε στη ζωή του αντιμέτωπος με τον τύρρανο της Ελέας (Δέμυλο ή Νέαρχο σύμφωνα με άλλους) και υπάρχει το γνωστό ανέκδοτο σύμφωνα με το οποίο ο Ζηνων αρνήθηκε να συνεργαστεί μαζί του και μάλιστα έκοψε τη γλώσσα του με τα ίδια του τα δόντια και την έφτυσε στο πρόσωπο του τύρρανου!!

Προσπαθώντας να δούμε το έργο του Ζήνωνα με διαφορετική άποψη, δε μπορούμε παρά να σκεφτούμε πόσοι μη-παραγωγικοί μαθηματικοί υπάρχουν στις μέρες μας. Δάσκαλοι σχολείων, φροντιστηρίων αλλά ακόμα και ακαδημαϊκοί. Αλλά πριν βιαστούμε να καταδικάσουμε , πρέπει να κατανοήσουμε πως η πορεία της επιστήμης έιναι τέτοια που εξελίσσεται σε νέα γνώση μέσω μιας σειράς αποτυχημένων προσπαθειών. Οι μαθηματικοί για αιώνες έψαχναν αλγεβρική μέθοδο επίλυσης της πεμπτοβάθμιας πολυωνυμικής εξίσωσης, μέχρι που οι Galois και Abel έδειξαν πως αυτό ήταν αδύνατο. Κάθε αποτυχημένη προσπάθεια όμως οδηγούσε ένα ακόμα βήμα πιο κόντα στην αλήθεια. Στη Φυσική κυριαρχούσαν λανθασμένες θεωρίες όπως ο Αιθέρας, το Φλόγιστον και η Θεωρία Σταθερόυ Σύμπαντος αλλά τα λάθη αυτών των θεωριών μας έφεραν πιο κοντά στι κυρίαρχες τώρα θεωρίες (που πολύ πίθανά θα καταρριφθούν και αυτές με τη σειρά τους κάποια στιγμή από άλλες…). Για κάθε αναγνωρισμένο γίγαντα επιστήμονα που παρήγαγε ένα νεό αποτέλεσμα, υπάρχουν μερικές δεκάδες άλλοι σκαφτιάδες που έκαναν τη χαμαλοδουλειά.. Αλλά έτσι είναι η ζωή!!

http://www.atopo.gr